چرا زنبور خانه اش را به صورت 6 ضلعی منتظم می سازد؟

چرا زنبور خانه اش را به صورت 6 ضلعی منتظم می سازد؟

---

۱- اولین نکته ای  که هست اینه که زنبور باید از میان تمام شکلهای هندسی،شکلهایی رو انتخاب  کنه که "کاملا متقارن" هستند تا تفاوتی نکنه که زنبور از کجا وارد خانه  میشه،از بالا یا پایین یا چپ یا راست. شکلهای کاملا متقارن عبارتند از 3  ضلعی منتظم (مثلث متساوی الاضلاع) 4 ضلعی منتظم(لوزی) 5 ضلعی منتظم،6 ضلعی  منتظم،7 ضلعی منتظم و ... و بینهایت ضلعی منتظم ( دایره!!!). شکلی مثل مثلث  متساوی الساقین یا مستطیل کاملا متقارن نیستند. اگر بخوام تعریف دقیق تری  از کاملا متقارن بودن ارائه کنم باید تعداد اضلاع شکل رو در نظر گرفت. مربع که نوع خاصی از لوزیه 4 ضلع داره و از 4 راستا هم متقارنه ( راستای  طول، عرض، قطر اصلی و قطر فرعی ) خود لوزی هم از 4 راستا متقارنه (می تونین اون 4  راستا رو پیدا کنید؟!!! ) مثلث متساوی الاضلاع 3 ضلع داره و از 3 راستا هم  متقارنه اما مثلث متساوی الساقین تنها از یک راستا متقارنه. مستطیل هم تنها  در دو راستا متقارنه. 

۲-  دومین نکته در مورد انتخاب شکلها برای ساخت خانه زنبور اینه که شکلها  کاملا در کنار هم چفت بشن یعنی بعد از کنار هم چیده شدنشون فضای خالی  بینشون وجود نداشته باشه. شما اگر 10 تا دایره رو کنار هم قرار بدین به  وضوح فضای خالی زیادی بین دایره ها خواهید داشت اما می تونین 10 مربع رو  بدون ایجاد حتی ذره ای فضای زائد در کنار هم بچینید. از بین تمام شکلهای  کاملا متقارن تنها 3 ، 4 و 6 ضلعی منتظم این قابلیت رو دارن!!! (5  ضلعی  منتظم این خاصیت رو نداره مثلا اگر 5 تا 5 ضلعی منتظم رو دور تا دور یک 5  ضلعی منتظم بچینید شکلی شبیه یک گل 5 پر ایجاد میشه که لابلای گلبرگهاش  فاصله یا همون فضای زائد وجود داره!!! ) 

۳-  حال ببینیم چرا زنبور از بین 3 شکل مناسب 6 ضلعی منتظم رو انتخاب  میکنه.جواب خیلی ساده است. زنبور شکلی رو انتخاب می کنه که با مصرف موم  مشخص،بیشترین فضا رو در اختیارش قرار بده یعنی در واقع شکلی رو برمی گزینه  که بتونه باهاش با مقدار معین مصالح،بزرگترین خانه ی ممکن رو بسازه. به  زبان ریاضی زنبور شکلی رو انتخاب میکنه که به ازای محیط ثابت،بیشترین مساحت رو داشته باشه. 

۴-  اجازه بدید قبل از اینکه بین 3 شکل بحث کنیم تکلیفمون رو با 4 ضلعی منتظم  ( لوزی) مشخص کنیم. در بین تمام لوزی های ممکن با محیط ثابت، مربع بیشترین  مساحت رو تولید می کنه.در واقع لوزی 4 زاویه داره که دو به دو با هم مساوین  پس میشه به هر لوزی دو عدد رو نسبت داد. زاویه ماکزیمم و زاویه مینیمم. به  وضوح هر چه اختلاف این دو عدد بیشتر باشه لوزی شکل کشیده تری داره و دارای  مساحت کمتریه و بیشترین مساحت وقتی رخ میده که اختلاف بین زاویه ماکزیمم و  مینیمم حداقل ( یعنی صفر ) باشه یعنی وقتی که هر چهار زاویه ی لوزی 90 درجه  باشه یعنی یک مربع داشته باشیم. اگر بخوام ریاضی تر این بحث رو دنبال کنم  باید بگم که اگر زاویه ماکزیمم رو با a و زاویه مینیمم رو با b نشون بدین  داریم a+b=180 لذا می تونین به هر لوزی در واقع یک زاویه مثلا a رو نسبت  بدین.به راحتی می تونین اثبات کنید که مساحت لوزی برابر است با (2sin(a  و این مقدار وقتی حداکثره که مشتقش یعنی (2cos(a برابر باشه با صفر یعنی a=90  یعنی همونطور که گفتم هر چهار زاویه لوزی 90 درجه باشند.

 ۵-  پس در نهایت به این نتیجه رسیدیم که زنبور باید از بین مثلث متساوی  الاضلاع، مربع و 6 ضلعی منتظم یکی رو انتخاب کنه. فرض کنید هر سه ی این  شکلهای محیطی برابر با یک داشته باشه. می خوایم مساحت هر کدوم را حساب کنیم و نشون بدیم که مساحت 6 ضلعی منتظم از همشون بیشتره. طول هر ضلع مثلث متساوی  الاضلاع با محیط 1 برابر است با یک سوم. با استفاده از قضیه ی فیثاغورس به  راحتی می تونین محاسبه کنید که ارتفاع این مثلث برابر است با یک روی 3√2 ، پس  مساحت این مثلث برابر است با یک روی  3√12 که تقریبا برابر است با 0.048 یک مربع با محیط 1 دارای اضلاعی به طول یک چهارمه و بوضوح مساحت این مربع یک شانزدهم خواهد شد که تقریبا 0.062 اما شش ضلعی منتظم، طول هر ضلع یک 6 ضلعی منتظم با محیط یک برابر یک ششم است.در واقع 6 ضلعی منتظم از 6 مثلث متساوی الاضلاع به طول یک ششم تشکیل شده است پس مساحت یک مثلث متساوی الاضلاع به  طول یک ششم رو محاسبه کرده آن را در 6 ضرب می کنیم تا مساحت 6 ضلعی منتظم به دست بیاید. مشابها،  ارتفاع این مثلث برابر با 3√ روی 12 پس مساحت این مثلث  برابر است با 3√ روی 144 لذا مساحت شش ضلعی منتظم شش برابر این مساحت است  یعنی 3√ روی 24 که تقریبا برابر است با 0.072 لذا ثابت کردیم که اگر مثلث  متساوی الاضلاع، مربع و 6 ضلعی منتظم دارای محیط یکسان باشند 6 ضلعی منتظم  مساحت بیشتری ایجاد خواهد کرد!!!

منبع: mathyazd.persianblog.ir

یه واقعیت باوررنکردنی از اسرار ریاضی

یه واقعیت باوررنکردنی از اسرار ریاضی

در ۱۳۲۸ خورشیدی، ریاضیدان هندی، Kaprekar، فرآیندی را ابداع کرد که به عملیات Kaprekar شهرت یافت. در این عملیات، ابتدا عددی ۴ رقمی بایستی انتخاب شود؛ با این شرط که تمام ارقام با یکدیگر یکسان نباشند (مثلا، انتخاب اعدادی مانند ۷۷۷۷ یا ۵۵۵۵ و … نقض شرط است). پس از انتخاب عدد، بایستی ارقام آن عدد را به صورت بزرگترین و کوچکترین عدد مرتب کنیم. مثلا، اگر عدد ۸۴۵۷ را انتخاب کردید، بزرگترین ترتیبش می‌شود: ۸۷۵۴ و کوچکترین ترتیب نیز می‌شود: ۴۵۷۸٫ سرانجام، بایستی این دو عدد را از یکدیگر کم کنیم تا عددی جدید به دست آید و این مرحله را تکرار کنیم.
عملیات ساده‌ای است، اما Kaprekar متوجه موضوعی شگفت‌انگیز شد. اجازه دهید این عملیات را با عدد ۱۳۹۰ امتحان کنیم وقتی که به عدد ۶۱۷۴ رسیدیم و اگر بخواهیم عملیات را ادامه دهیم در هر خط دوباره به عدد ۶۱۷۴ می‌رسیم. اجازه دهید این بار با عددی دیگر، مثلا با ۶۵۱۷ این عملیات را بررسی کنیم.عملیات اندکی طولانی‌تر می‌شود اما باز به همان نتیجه رسیدیم؛ یعنی عدد ۶۱۷۴٫ اگر اعداد دیگر را نیز امتحان کنید همواره به ۶۱۷۴ خواهید رسید؛ این همان اتفاق عجیبی بود که Kaprekar آن را کشف کرد.
این عملیات حداکثر ممکن است ۷ مرحله تکرار شود. بیشتر اعداد ۴ رقمی بدون ارقام تماما یکسان (۲۱۲۴ عدد) سه مرحله‌ای به ۶۱۷۴ می‌رسند، پس از آن ۱۹۸۰ عدد ۷ مرحله‌ای به این نتیجه می‌رسند.
مشابه این نتیجه‌ی منحصر به فرد تنها در اعداد سه رقمی تکرار شده است. بدین صورت که اگر همین عملیات را برای اعداد سه رقمی تکرار کنیم همواره به ۴۹۵ می‌رسیم. 

------

منبع : hellibammath.blogfa.com

نکات ترفندی و جالب برای بخش پذیری اعداد

نکات ترفندی و جالب برای بخش پذیری اعداد

بخش پذیری بر 7 :

اگر یک عدد دو یا چند رقمی داشتیم برای بخش پذیری بر 7 ،

اول : رقم یکان را جداگانه  در 2 ضرب می کنیم .

دوم : رقم های باقی مانده از همان عدد چند رقمی ( منظور به جز رقم یکان) را در نظر گرفته و از مقدار دو برابر رقم یکان ( قسمت قبل)کم می کنیم

سوم :  اگر حاصل صفر شود یا عددی مضرب 7 بدست آید آن عدد بر 7 بخش پذیر است .

بخش پذیری بر 13 :

اول : رقم یکان را در نظر گرفته و آنرا 4 برابر می کنیم   .

دوم : ارقام باقی ماندهاز آن عدد را با حاصل قسمت اول جمع می بندیم 

سوم :  اگر حاصل  عددی مضرب 13 بدست آید آن عدد بر 13بخش پذیر است .

بخش پذیری بر 17:

اول : رقم یکان را در نظر گرفته و آنرا 5 برابر می کنیم   .

دوم : سپس ارقام باقی مانده را از حاصل مرحله اول کم می کنیم

سوم : اگر حاصل صفر یا مضرب 17 باشد بر 17 بخش پذیر است

مثال : (می دانیم 238= 17*14 ) 238 را امتحان می کنیم داریم :

مواظب تلف شدن وقت باشید

مواظب تلف شدن وقت باشید

زمان، گران‌بهاترین دارایی انسان است که به سرعت هزینه می‌شود. هر ثانیه‌ای که در کارهای منفی و بی‌ثمر می‌گذرانید، در واقع تلف کردن عمر گران‌بها و برگشت‌ناپذیر شماست.‌ پس هر موقع احساس کردید که در شرایط، موقعیت یا مجلسی هستید که دارید وقت‌تان را تلف می‌کنید، شرایط را عوض کنید و به کارهای مهمی که پیش‌بینی و لیست کرده‌اید، بپردازید.

حل معما روشی برای پرورش خلاقیت

حل معما روشی برای پرورش خلاقیت

همان طور که در مطلب «تعریف خلاقیت به زبان ساده» ذکر شد، خلاقیت یعنی توانایی تولید ایده. بنابراین اگر بخواهیم در مواجهه با مسائل و مشکلات زندگی به طور خلاقانه عمل کنیم، باید به فکر ارتقاء مهارت‌مان در تولید ایده و راه حل باشیم. در برخورد با یک مسئله، هر چه بیشتر بتوانیم ایده تولید کنیم، دستمان برای انتخاب بهترین‌ها بازتر خواهد بود. بدیهی است که این موضوع محقق نخواهد شد، مگر با تمرین. تمرین و تکرار مادر یادگیری است.

معما نیز چیزی نیست جز مسائلی که به طور استادانه طرح‌ریزی شده و برای حل آنها نیاز به ایده‌سازی داریم. در واقع حل معما مانند نرمشی است که به عضلات مغز و ذهنمان می‌دهیم تا تقویت شده و در حل مسائل واقعی زندگی روزمره یاری‌مان نمایند.

البته باید توجه داشت که در طرح معماها، اهداف متفاوتی می‌تواند مد نظر باشد. بعضی از معماها براساس کارکرد سمت چپ مغز طرح می‌شوند و بیشتر تفکر منطقی را توسعه می‌دهند. در مقابل برخی از آنها نیز عضلات سمت راست مغز را درگیر می‌کنند و تفکر جانبی (خلاقانه) را تقویت می‌کنند. معماهایی نیز هستند که هر دو نیمه مغز را به کار می‌گیرند و باعث رشد توام تفکر منطقی و جانبی می‌شوند.

نکته مهمی که در مهارت حل مسئله مطرح می‌باشد، این است که ما برای رسیدن به یک راه حل کارآمد و موثر، نیازمند تعادل در هر دو نیمه مغز و هر دو نوع تفکر هستیم. نیمه راست مغز مسئولیت تولید ایده‌های جدید، متفاوت و خلاقانه را دارد و نیمه چپ مغز نیز با تفکر منطقی، وظیفه قضاوت در مورد ایده‌ها، انتخاب مناسب‌ترین آنها و بکار گرفتن‌شان در حل مسائل را بر عهده دارد. بنابراین برای ارتقاء مهارت حل مسئله باید در انتخاب معماهای تمرینی هر دو جنبه را در نظر داشت.

نکته دیگر این که، هر چه در حل معما مهارت پیدا کنیم، اعتماد به نفس‌مان بالاتر خواهد رفت و به همان نسبت راحت‌تر از عهده حل مسائل و مشکلات واقعی برخواهیم آمد. باید به این واقعیت توجه داشت که بسیاری از ناتوانایی‌هایمان از باورهای نادرست‌مان نشئت می‌گیرد. زمانی که اعتماد به نفس پایین باشد، باورمان در مورد توانایی‌هایمان دچار تزلزل خواهد شد.

بنابراین باید با تمرین و پشتکار، نسبت به بازسازی و تقویت اعتماد به نفس مبادرت کرد. در واقع هر معمایی که حل می‌کنیم، آجری است برای ساخت عمارت مجلل باورها و توانایی‌هایمان. و هر چه برای حل هر معما وقت می‌گذاریم و بیشتر ایده‌سازی می‌کنیم، در واقع بر استحکام این عمارت می‌افزاییم.

نکته آخر: در حل معماها نباید کودکان را فراموش کرد. ضمن اینکه می‌توان از مسائل و معماهای مخصوص کودکان (به اقتضای سن و درک‌شان) برای آنها استفاده نمود، حتی در حل معماهای بزرگسالان نیز می‌توان (و باید!) از مشارکت کودکان استفاده کرد. در این راستا می‌توان ضمن تشریح مفهوم ساده‌ای از هر معما به کودک، با رویی خوش و تشویق، گام به گام با او پیش رفت و معما را حل نمود.

درست است که کودکان اطلاعات، دانش و تجربه ما بزرگ‌ترها را ندارند، ولی آنها فکر باز و خلاق، و تخیل شگرفی دارند که برخی اوقات در ارائه راه‌حلهای خلاقانه از بزرگتر‌ها پیشی می‌گیرند. به خصوص اگر به آنها فرصت ابراز وجود دهیم و به نظراتشان اهمیت قائل شویم.

به قولی:                                /83

به تخیل کودکان خود پروبال دهید، آن وقت است که از پرواز بلند آنها شگفت‌زده خواهید شد!