بمب ریاضی امسال منفجر شد: راه‌حلی برای مساله ۲۳۰۰ ساله

تصور کنید می‌خواهید ثابت کنید بی‌نهایت زوج عدد اول وجود دارد که تفاضل‌شان 2 است؛ به جای آن ثابت می‌کنید بی‌نهایت زوج عدد اول وجود دارد که تفاضل‌شان کمتر از 70,000,000 است. این بزرگ‌ترین کشف ریاضی سال‌های اخیر است.

تصور کنید قرار است ثابت کنید تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارند که تفاضل آنها دو واحد است. به جای آن ثابت می‌کنید تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارد که تفاضل آنها کمتر از 70 میلیون رقم است. آیا فکر می‌کنید این شکستی مفتضحانه است و بهتر است درباره آن سکوت کنید؟ اگر این طور فکر می‌کنید چیزی از دنیای شگفت‌انگیز ریاضیات نمی‌دانید.

اگر داستان آلیس در سرزمین عجایب را خوانده باشید حتما با............. 

حتما با لانه خرگوش آشنا هستید. آلیس، در یک عصر تابستانی خرگوشی را دنبال می‌کند و به دنبال او قدم به لانهاش می‌گذارد و بلافاصله جهانش تغییر می‌کند، هیچ‌چیز آن طوری نیست که به نظر می‌آمد باید باشد. در این دنیا اولویت‌ها و منطق‌ها و رفتارها تغییر می‌کند. آلیس همان آلیس است، اما با قدم نهادن در لانه خرگوش دیدش به جهان تغییر می‌کند و از دل آن است که می‌تواند جهان‌های جدیدی را نه تنها برای خود کشف کند که خوانندگان این داستان را به کشف دنیایی فراسوی روزمرگی راهنمایی کند.

این لانه افسانه‌ای خرگوش فقط زاییده ذهن ریاضی‌دانی با نام مستعار لوییس کرول نیست که داستانی را هنگام قایق‌رانی برای شاگردش تعریف کرده است. در دنیای واقعی دروازه‌های زیادی وجود دارد که وقتی قدم به آن بگذارید دنیای متفاوتی در برابر چشمان شما شکل می‌گیرد؛ دنیایی که اگر بیش از اندازه به روزمرگی معتاد شده باشید به همان اندازه برایتان شگفت‌انگیز و معجزه‌آسا خواهد بود. ریاضیات یکی از این حفره‌های جادویی جهان است، دنیایی برآمده از منطق که تفسیرگر جهان ماست و رشد و پیشرفتش و فضا و ساختارش ساز و کار ویژه خود را دارد. وقتی به این دنیا وارد می‌شوید آن‌چه در ابتدای این متن خواندید دیگر شکست به شمار نمی‌رود بلکه موفقیتی تاریخی و یکی از مهم‌ترین کشف‌های ریاضیاتی معاصر بدل می‌شود.

امن‌ترین اعداد جهان

زمانی کارل گاوس ریاضیات را ملکه علوم و نظریه اعداد را ملکه ریاضیات نامیده بود. شاید اگر اعداد اول را از محترم ترین ساکنان قلمرو این ملکه بشماریم سخنی به زیاده نگفته باشیم. اعداد اول اعداد مهمی هستند. نه فقط به این دلیل که امروز بخش بزرگی از اطمینانی که ما به رمزنگاری در کارهای روزمره داریم (مانند تراکنش‌های بانکی یا خرید‌های اینترنتی با کمک کارت‌های اعتباری) به خاطر استفاده از این اعداد است، بلکه به دلیل ماهیت و جایگاهی که در بین اعداد طبیعی دارند مهم به شمار می‌روند. اعداد طبیعی همان اعداد آشنایی هستند که هنگام شمارش به کار می‌بریم، از یک شروع می‌شوند و به ترتیب هر بار یکی به آنها افزوده می‌شود و مجموعه ای مانند ...و3و2و1 می‌سازند که به طور نامتناهی ادامه می‌یابد. در این بین بعضی از اعداد وجود دارند (غیر از 1) که فقط می‌توان آنها را به خودشان و به 1 تقسیم کرد. مثلا شما عدد 6 را می‌توانید به 1، 2، 3 و 6 تقسیم کنید و باقی مانده شما صفر شود؛ اما عددی مانند 3 فقط قابل تقسیم به 3 و 1 است همین‌طور عددی مانند 11، 17 یا 1- 2195,000× 2,003,663,613. چنین اعداد طبیعی را که تنها قابل تقسیم بر خود و یک هستند، اعداد اول می‌نامند.

شما به راحتی می‌توانید چندین عدد اول را بشمارید، 2،3،5،7،11،13،17،19،23و ... اما هرچقدر اعداد طبیعی بزرگ‌تر می‌شوند فراوانی و یا چگالی (تعداد اعداد اول در یک فاصله مشخص) نیز کاهش می‌یابد. هنوز فرمولی پیدا نشده که بتواند اعداد اول را تولید کند و هنوز دقیق نمی‌دانیم که توزیع این اعداد در بین اعداد طبیعی چگونه است. آیا با اضافه شدن به اعداد طبیعی ممکن است به جایی برسیم که فاصله میان دو عدد اول متوالی نیز به سمت بی نهایت میل کند و به جایی برسیم که هیچ دو عدد اول نزدیک به همی را نتوانیم پیدا کنیم؟

یک فرض قدیمی

یک فرض قدیمی باعث می‌شود ریاضی‌دان‌ها خوش‌بین باشند که چنین اتفاقی نمی‌افتد. این فرض که قدمت آن به دوران اقلیدس (سده سوم پیش از میلاد) می‌رسد، بیان می‌کند که تعداد نامتناهی زوج عدد اول (دو عدد اول) وجود دارند که فاصله آنها تنها دو واحد است. مثلا 3 و 5 را در نظر بگیرید این دو عدد هر دو اول هستند و تنها دو واحد با هم فاصله دارند. 11 و 13 نیز همین ویژگی را دارند همین‌طور 17 و 19 و همینطور دو رقم  1- 2195,000× 2,003,663,613 و 1+ 2195,000× 2,003,663,613. حال سوال اینجاست که آیا چنین زوج اعدادی را می‌توان وقتی اعضای رشته اعداد طبیعی به اندازه کافی بزرگ باشند هم پیدا کرد؟ اگر این طور باشد باید تعداد نامتناهی از این زوج اعداد وجود داشته باشد.

این فرض هنوز هم یکی از قدیمی‌ترین مسایل حل نشده ریاضیات است. علت این‌که به آن حدس می‌گویند، این است که اگرچه تا الان ریاضی‌دان‌ها نتوانسته‌اند وجود تعداد نامتناهی از این زوج‌ها را ثابت کنند، نتوانسته‌اند عدم وجود آنها را نیز ثابت کنند و در عین حال آن مقداری از اعداد اول را که پیدا کرده‌اند در بردارنده چنین زوج اعدادی هستند. چون در ریاضیات یا یک گزاره درست است و یا نیست؛ پس تا زمان اثبات و یا رد منطقی و ریاضی، این گزاره به عنوان فرض باقی می‌ماند.

تلاش‌ها برای بررسی این وضعیت و رسیدن به نتیجه ای مناسب در سال 2005/1384 به اوج خود رسید. در این سال دنیل گلدستون از دانشگاه سن‌خوزه به همراه دو همکارش با انتشار مقاله‌ای نشان دادند تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارد که فاصله آنها حداکثر 16 واحد است. این گام بزرگی به شمار می‌رفت و می‌توانست ریاضی‌دان‌ها را در رسیدن به اثباتی برای نشان دادن وجود تعداد نا‌متناهی زوج عدد اول با فاصله دو رقمی امیدوار کند؛ اما در این اثبات از فرض دیگری استفاده شده بود که خود آن فرض هنوز اثبات نشده است.

یک جهش بزرگ

به گزارش نیچر، وقتی ایتانگ ژانگ (Yitang Zhang ، صاحب تصویر به نمایش درآمده در آغاز متن) ریاضی‌دان دانشگاه نیوهمپ‌شایر نتیجه تحقیق خود را برای گروهی از همکارانش ارایه کرد و وقتی که ریاضی‌دان‌های پیشرو در این زمینه مقاله وی را مشاهده کردند، این احتمال مطرح شد که گام غول‌آسایی در حل این مساله تاریخی و مهم ریاضیاتی برداشته شده باشد. به نظر می‌آید او بدون آن‌که از هیچ فرض تاییدنشده‌ای کمک گرفته باشد و بدون آن‌که ایراد و نقص آشکاری در روش کارش مشاهده شود، توانسته است ثابت کند که تعداد نامتناهی زوج عدد اول وجود دارند که حداکثر فاصله آنها از هم 70 میلیون واحد است.

شاید به نظر خیلی امیدوارکننده نباشد وقتی به دنبال زوج اعدادی با اختلاف دو واحد باشید و به جای آن به تفاوت 70 میلیون واحدی مواجه می‌شوید؛ اما به یاد داشته باشید شما در دنیای شگفت‌انگیز ریاضیات هستید. مدتهاست از آستانه لانه خرگوش عبور کرده‌اید و باید قوانین این دنیا را بپذیرید. اگر این روش از پس بررسی‌های دقیق ریاضی‌دانان سربلند خارج شود، موفقیتی بزرگ به شمار می‌رود. درست است که 70 میلیون واحد فاصله به نظر خیلی زیاد می‌آید، اما درنهایت فاصله‌ای معنی‌دار و محدود است؛ یعنی ما توانسته‌ایم تعداد نامتناهی زوج عدد اول پیدا کنیم که فاصله میان آنها کمتر از مرزی مشخص است. این مرز اکنون به نظر می‌رسد 70 میلیون باشد.

گلدستاین که خودش در تحقیق اخیر نقشی نداشته اما یکی از ریاضی‌دان‌های فعال در زمینه اعداد اول است، می‌گوید: «انتظار ندارم این روش را بتوان به گونه‌ای به کار برد که در نهایت ما را به صورت اصلی فرض که زوج اعداد با فاصله دو رقم است برساند. اما واقعیت این است که باورم نمی‌شد در زمانی که زنده هستم شاهد چنین پیشرفتی باشم.»

این اثبات (اگر تایید شود) در نهایت دید بهتری نسبت به توزیع اعداد اول در اختیار ریاضی‌دان‌ها قرار می‌دهد و به شناخت آنها از اعداد اول کمک می‌کند. شاید بپرسید این‌ها به چه کار روزمره ما می‌آید؟ شاید برای کسانی که بیرون لانه خرگوش ایستاده‌اند و مشغول خواندن روزنامه‌ای از خبرهای روز هستند، کارآیی نداشته باشد اما این ریاضی‌دانان هستند که در ناب‌ترین شکل ممکن به بررسی و کشف ساختمان موجودی مشغولند که جهان ما و دنیای ما و اندیشه ما براساس آن بنا شده است.

جمع به روش شیخ بهایی

آنچه که میخوانید ریاضیات به سبک شیخ بهایی است که از کتاب خلاصة الحساب شیخ بهایی که در سال 1311 قمری نوشته شده به فارسی برگردانده شده است این کتاب شامل ده باب سی فصل در ریاضیات پایه،نجوم، و سیارات میباشد.

در این روش، در جمع چند عدد چند رقمی که زیر هم نوشته شده بجای آنکه اعداد از سمت راست جمع زده شوند،
از سمت چپ جمع زده می شوند. مثلاً:

۹ ۴ ۵ ۶

۲ ۴ ۵ ۷

۹ ۵ ۶ ۳

۶ ۱‌

۶ ۱   ‌

۳ ۱      ‌

۰ ۲         ‌

---------------

۰ ۵ ۷ ۷ ۱

همین طور که می بینید هیچ (ده بر یک یا بیست بر دو ویا...) بکار برده نمی شود و برای یاد گیری خصوصا بچه ها بسیار راحت است.

این روش هم اکنون در کتاب ریاضی پایه دوم ابتدایی تدریس می شود

مشکلات یادگیری هندسه و راهکار ها

مشکلات یادگیری هندسه و راهکار ها

با اینکه هندسه ، یادگیری ریاضیات را آسان می کند ، اما در  یادگیری خود هندسه نیز مشکلاتی وجود دارد  . اغلب در تدریس یک مطلب جدید هندسه ، به این مساله برخورد می کنیم که مطالب پیش زمینه ی متعددی با موضوع جدید عجین شده است که عموما ضعف دانش آموزان در آن مطالب باعث می شود تا نتوانند به خوبی روی مطلب جدید متمرکز شده و آن را بیاموزند .درسی برای دانش آموزان جذاب است که جنبه پژوهش و تحقیق درونی در آن باشد . حل مسائل هندسه برای دانش آموزان ، معمولا چالش برانگیز بوده است . ضعف در یاد آوری و بسیج دانش قبلی ، انتخاب راهبرد صحیح و گذر از حدسیه سازی تا رسیدن به اثبات ، از مشکلات عمده ی دانش آموزان محسوب می شود .

از جمله مشکلات دیگری که به ماهیت این درس مربوط می شود ، می توان گفت که هندسه نسبت به جبر یا حساب ، دارای مسائل اثبات کردنی بیشتری است . یکی از رویکرد مناسب برای رفع مشکل در یادگیری هندسه ، استفاده از نظریه ی ساخت و سازگرایی و ابزارهای آموزشی در تدریس و یادگیری است . بر این اساس ، دانش آموزان در مراحل مختلف تدریس و یادگیری مباحث درسی ، با استفاده از وسایل کمک آموزشی متنوع ، درگیر حل مساله می شوند . در هندسه ی دبیرستانی، باور هر دانش آموز ، از عامل های موثر در فعالیت های ریاضی است . ریاضیات ، ماهیت  دوگانه ی انتزاعی و ملموس بودن دارد و هندسه نیز از این مورد مستثنی نیست .

اکثر دانش آموزان ، قادر به حل مسائلی از هندسه هستند که آن ها را دیده اند و یا این که معلم در تدریس خود به آن ها اشاره کرده است و آموزش دیده اند که تکالیف خود را از روش معمولی یا الگوریتمی حل کنند . ( انواع مشابه )  . برای اینکه موارد مربوط به درس هندسه ی دبیرستانی برای دانش آموزان ، ملموس تر ارائه شود و آن ها یادگیری بهتری داشته باشند ، معلم باید روش تدریس عملی توسط خود دانش آموز را اتخاذ کند . به این صورت که در آموزش ، جزئیات ارائه شده ، توسط تک تک دانش آموزان در روی کاغذ ، انجام شود و آن ها عینا چیزی را که در حال یادگیری هستند ، لمس کنند . متاسفانه به خاطر اینکه دانش آموزان ، هندسه ی ابتدایی وراهنمایی را واقعا یاد نمی گیرند ، در سال اول راهنمایی ، گویی اصلا هندسه نیاموخته اند و  چیزی که معلمان مدام باید به دانش آموزان خود بگویند ، این است : « اعتماد به نفس داشته باشید .»

یکی دیگر از مواردی که باید در آموزش هندسه به آن دقت نمود ، نمادهایی است که به کار می بریم . باید این نماد ها را در ابتدا به دانش آموزان معرفی کنیم تا برایشان ملموس شود . مثلا نماد زاویه ، کمان ، پاره خط ، موازی بودن ، متقاطع بودن و عمود بودن و ... . نکته ی دیگر این است که باید به دانش آموزانمان بیاموزیم همان طور که در مسائل ، هندسی عمل می کنند ، در رابطه با هندسه نیز ، بتوانند تصور هندسی را به تصور ملموس تری مبدل کنند . مراحل تدریس هندسه را می توان به صورت فیلم آهسته به دانش آموزان نشان داد . به این صورت که مراحل با شکل هایشان در یک صفحه نمایش ( تخته سیاه ، وایت بورد ، .... ) نمایش داده شود . چیزی که مهم است ، این است که دانش آموزان بتوانند  آن چیزی که مورد نظر است ، دریافت کنند .

 برای آموزش بهتر هندسه به دانش آموزان ، بایستی ابتدا ذهن فضایی آن ها را آماده کنیم . بنابراین تمرین ذهنی لازم برای یادگیری درس هندسه ی  باید بررسی شود . اینکه دانش آموزان چطور بتوانند برخی از موارد را در ذهن خود مجسم کنند و به آن معنی ببخشند  . برای این کار ، باید یک سری مراحلی از تمرینات را برای دانش آموزان ارائه کرد . اولین مرحله برای آشنایی با تجسم فضایی ، می تواند مثال هایی از طبیعت اطراف دانش آموز باشد که خیلی راحت او را به دنیای سه بعدی هندسه وارد می کند . دانش آموز باید بیاموزد که چطور بتواند اجسام سه بعدی را در دنیای دو بعدی کاغذ جا دهد . این مانند رسیدن از کل به جز است . اجزای مبهمی که در نظر دانش آموز در هندسه نهفته است ، آن را برای او مشکل می سازد طوری که شکایت از جدایی هندسه و ریاضیات می کند . مشکل اساسی دیگر دانش آموزان در رابطه با درس هندسه ، می تواند این باشد که آن ها هدف از آموزش این بخش از ریاضیات را نمی دانند و انگیزه ای هم ندارند و این پیچیدگی هندسه را برای آن ها بیشتر و گنگ تر می کند . 

شیوه های برتر تدریس هندسه

- شیوه های برتر تدریس هندسه

در این جا ، هندسه ی دبیرستانی بررسی می شود . بسیاری از مشکلات حاصل دراین مقطع ، ریشه در ضعف هندسه ی ابتدایی-راهنمایی دارد . شیوه های تدریس هندسه ( ریاضی ) می تواند در سه روش کلی زیر خلاصه شود :

 ١- شیوه های زبانی تدریس ( یادگیری از طریق شنیدن ) که تدریس به کمک سخنرانی و استدلال معلم و همراه با نماد ها و گزاره های ریاضی است . اگر چه این شیوه ی تدریس برای فراگیرانی مناسب است که در مرحله ی رشد عملکرد های قیاسی ( ۱ تا ۱۶ سالگی ) قرار دارند ولی با توجه به مفاهیم هندسه ( نقطه ، خط ، خطوط موازی و ...) لازم است حداقل تدریس آن به  شیوه ی تصویر انجام شود.

٢- شیوه های تصویری تدریس ( یادگیری از طریق دیدن و شنیدن ) که تدریس به کمک نمودار های تصویری ( اشکال و تصاویر ) و اشیای واقعی انجام می شود و فراگیران ضمن توجه به توضیحات معلم ، ناظر بر فعالیت های تدریس او هستند . ( رشم اشکال و تصاویر )

٣– شیوه های عملی تدریس ( یادگیری از طریق تجربه و عمل ) که تدریس به کمک فعالیت های هدفدار برنامه ریزی شده و توسط خود فراگیران انجام می شود و پس از انجام فعالیت های یادگیری و به منظور نتیجه گیری فراگیران ، به بحث و گفتگو می پردازند .

آگاهی از مفاهیم هندسه و اهمیت تدریس آن و مطالعه ی ماهیت فراگیران و مرحله ای از رشد که در آن قرار دارند و محدودیت هایی که در این سنین با آن مواجه هستند ، توجه به یک نکته را ضروری می نماید و آن انتخاب مناسب ترین نقطه ی آغاز تدریس مفاهیم هندسه است . یادگیری های انسان ، اصولا از جز به کل و موافق رشد قوای ذهنی او صورت می پذیرد . اما گاهی نیز راه طبیعی یادگیری فراگیران از کل به جز است . البته زمانی که فراگیری کل برای آن ها ساده تر و قابل لمس تر از اجزای متشکله ی آن است . در تدریس هندسه  نیز ، می توان از کل به جز آموزش داد . مثلا حجم       سطح ها     خط ها  و بالاخره نقطه . به نظر می رسد که این شیوه ی معرفی مفاهیم ، ضمن این که به شیوه ی عملی قابل تدریس است ، موافق طبع و ماهیت آن ها خواهد بود و چون درک مفهوم کل از اجزا ی آن ساده تر است ، تدریس آن را حتی می توان در دروه ی آمادگی آغاز نمود . اگر در تدریس هندسه از وسایل کمک آموزشی مثلا از یک تخته ی مستقل که نقطه چین های منظمی دارد استفاده شود ، عملکرد بهتری مشاهده خواهد شد . و  همچنین فعالیت های یادگیری می تواند به صورت فردی یا گروهی انجام گیرد .

عجیب‌ترین لانه زنبور جهان را ببینید

عجیب‌ترین لانه زنبور جهان را ببینید

محیط زیست > حشرات- همشهری آنلاین: 
بزرگترین و عجیب‌ترین لانه زنبوری که در کتاب رکورد‌ها ثبت شد! توسط زنبورهای مهاجر آفریقایی ساخته شده است.

بزرگترین و عجیب‌ترین لانه زنبور جهان در داخل یک خانه کشف شد. این کندو واقع در تنریف - جزایر قناری اسپانیا است. لانه زنبوری به وسعت یک اناق 15 متری که هزاران زنبور را در خود جای داده بود.

داستان کشف این لانه‌زنبور از این قرار است که اهالی و همسایگان یک روستا با تلفن‌های مکرر از وجود زنبور‌های انبوه در محل سکونت خود به آتش‌نشانی و پلیس منطقه شکایت می‌کنند.

منطقه سم سباستین دلاگومرا در جزیره تنریف- اسپانیا در واقع به نوعی مرکز حمله زنبور‌ها قرار گرفته بود. بعد از این شکایات، پلیس و آتش نشانی وارد عمل می‌شوند. آنها منطقه را با دقت بررسی کرده و در نهایت ناباوری خانه مشکوکی که زنبور‌ها به آن رفت و‌ آمد می‌کردند را یافتند.

آنها با تجهیزات ایمنی وارد خانه شده و با منظره عجیب و شگفت‌انگیزی روبرو می‌شوند. یک لانه زنبور عظیم  به اندازه 6. 7 متر که میلیون‌ها زنبور  مهاجر را در خود جای داده بود.احتمالا قاچاقی وارد جزیره شده بودند.

خانه متروکی که توسط این زنبور‌ها اشغال شده است.

این توده عظیم چیزی جز یک کندوی زنبور نیست!

آنها قبل از تخریب و خارج کردن زنبور‌ها از منطقه، این اثر که بزرگترین لانه زنبور جهان داخل  یک خانه محسوب می‌شود را در کتاب رکوردهای گینس ثبت می‌کنند.

رکورد قبلی مربوط به لانه زنبور 5.5 متری در نیوزیلند بود که 3.7 متر طول و 1.75 متر عرض داشت. 

کارشناسان امر در این زمینه می‌گویند؛ این لانه‌ نمی‌تواند کار زنبورهای بومی باشد، بلکه باید توسط زنبور‌های مهاجر آفریقایی ساخته یا به نوعی تولید شده باشند.

زنبورهای مهاجر افریقایی از سواحل افریقا که تنها 100 کیلومتر با جزایر قناری فاصله دارد، می‌آیند. آنها می‌توانند چنین لانه‌های عظیمی درست کنند که تعجب همگان را برانگیزند.

این منطقه برای مدتی یعنی تا تخلیه کامل زنبور‌ها از این خانه متروکه خالی از سکنه شد. پلیس در خصوص رها کردن خانه برای مدت طولانی به صاحبان آنها تذکر و اخطار  صریح داده است.

محیط زیست > حشرات- همشهری آنلاین