درباره اعداد اول

این است که بزرگترین عدد اول وجود ندارد. این موضوع از عصر طلائی یونانیان مکشوف بوده و توسط اقلیدس در سه قرن قبل از میلاد به اثبات رسیده است. استدلال وی بی اندازه ساده و مبرهن است و هنوز هم تازگی خود را حفظ کرده. پس از اثبات نامتناهی بودن مجموعه ی اعداد اول سؤالاتی دیگر در مورد این اعداد مطرح می شود، که به بعضی از آنها پاسخ داده شده ، ولی برخی هم همچنان بی جواب باقی مانده اند. در این جا چند نمونه از این سؤالات مورد بررسی قرار می گیرند، و ضمناً برهان اقلیدس نیز ارائه خواهد گردید.

معلوم نیست که مفهوم اول برای اولین بار در چه زمانی طرح شده است و چه مدتی سپری گشته تا از مطالعه در خواص اولیه چنین اعدادی به نامتناهی بودن آن پی برده شود. شاید پس از نخستین ملاحظات تجربی و نیز مطالعه ی عملی در خواص اعدادی چون 2و3و11و17 این سؤال طبعاً پیش آمده است.

برهان ذیل، برای اثبات نامتناهی بودن رشته ی اعداد اول هنوز هم از ساده ترین برهان ها در این زمینه است. فرض کنیم که چنین نباشد در این صورت ، عدد اولی مانند p وجود دارد که از هر عدد اول دیگر بزرگتر است. اینک  را در نظر می گیریم این عدد بر هیچ یک از اعداد ( )بخشپذیر نیست . چون m یک عامل اول دارد و این عامل در بین اعداد ( )نیست پس عامل اولی به غیر از اعداد یاد شده دارد و این با فرض ما در تناقض است. این نتیجه ی ظریف و زیبای اقلیدسی ، که ضمناً برهانش هم بسیار ساده است ، یکی از اولین نمونه ی برهانهای مشهود ریاضی است که به طریقه ی برهان خلف صورت گرفته است. پس ازبررسی این حکم سؤالات تازه ای مطرح می شود، و پاسخ به این سؤالات منجر به نتایج و ملاحظات دیگری می گردد. به عنوان مثال ، با بکار بردن مفهوم « فاکتوریل» می توان متقاعد شد که همواره یک رشته ی بقدر کافی طولانی از اعداد طبیعی متوالی که اول نباشد وجود دارد. در واقع به ازای هر n مفروض می توان n عدد متوالی ، با در نظر گرفتن اعداد طبیعی : n!+2,n!+3,n!+4,…,n!+n به دست آورد؛ این اعداد جملگی مرکب اند (غیر اول). زیرا اولی بر 2 ودومی 3 و سومی 4 و n امی برn بخش پذیر است.

هر گاه موضوع را بیشتر تعقیب کنیم، به شگفتی این اعداد و خصیصه ی مسائل مربوط به آن پی خواهیم برد، به تدریج مسائل جدید مطرح می شوند و این مسائل ، مسائل جدید دیگری را پیش می آورند که عموماً پاسخ به بعضی از آنها چندان هم ساده نیست.

از بین مسائل معروف اعداد اول ، مقدماتی ترین آنها مسئله ذیل است: در مورد اعداد طبیعی زوج به امتحان ملاحظه شده است که قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. « کریستیان گلدباخ» ریاضیدان آلمانی حالت کلی را حدس زد. یعنی به حدس اظهار داشت که هر عدد طبیعی زوج بزرگتر از 2 قابل نمایش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. ( این موضوع در گلچین ریاضی هم آمده) تا عصر حاضر این حدس به یقین مبدل نشده است و ریاضیدانان موفق به اقامه ی برهان برای آن نشده اند. صحت این حکم برای اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 10⁸ محقق شده است. ( تا سال 1968)

با بکار بردن ماشینهای الکتریکی محاسبه ، می توان آمارهایی فراهم آورد برای نشان دادن اینکه به چند طریق می توان یک عدد زوج مانند 2n به صورت حاصل جمع دو عدد اول نوشت ، عده ی طرق با بزرگ شدن n بزرگ می شوند. در حال حاضر ریاضیدانان روسی « ایوان ماتویویچ ویورگرادوف» ثابت کرده است که هر عدد طبیعی فرد بقدر کافی بزرگ ، قابل نمایش به صورت حاصل جمع سه عدد اول است. فرمولی که بوسیله آن بتوان هر عدد اول بقدر کافی بزرگ را به دست آورد، وجود ندارد. البته عبارت هایی در دست است که از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین کرد. به عنوان مثال فرمول اویلر در دست است که از روی آن می توان عده ای از اعداد اول را تعیین کرد. به عنوان مثال فرمول اویلر  به ازای  اعداد اول متمایزی به دست می دهد . همچنین معلوم نیست که تعدادی نامتناهی از اعداد اول دوقلو ، یعنی اعداد اولی که تفاضل آنها 2 باشد مانند 5و7 ، 11و13، 29و31 و غیره وجود دارد یا نه. اینها نمونه هایی هستند از مسائلی ساده در اعداد اول که بطور طبیعی مطرح می شوند و اگر چه صورت ظاهری آنها ساده به نظر می رسد، اثبات آنها غالباً دشوار است و این امکان وجود دارد که با معلومات ریاضی عصر ما ثابت نگردند.

اما در مورد حکمی که اخیراً ذکر شد، اطلاعاتی در دست است. به عنوان مثال، معلوم گشته که رشته ی اعداد اول به صورت 4k+1 و4k+3 نامتناهی است. به طور کلی ثابت شده که در تصاعد حسابی ak+b،که در این a وb  نسبت به هم اولند و k=1,2,3,…  یک تعداد نامتناهی عدد اول وجود دارد.

* لئوپولد کرونکر ریاضیدان آلمانی اظهار داشته است که خداوند اعداد صحیح را آفرید و بشر باقی ریاضیات را.

روش های فعال کردن کلاس ریاضی

روش های فعال کردن کلاس ریاضی

واژه های کلیدی : کلاس ریاضی – تدریس فعال – معلم خلاق – دانش آموز فعال

-1 مقدمه

بیشتر دانش آموزان درس ریاضی را به عنوان یکی از سخت ترین درس هایشان می شناسند (که در واقع نیز چنین است ) همچنین نا خود آگاه معلم ریاضی را معلمی بد اخلاق و خشک و خشن می دانند . با توجه به این شرایط اگر معلم ریاضی نیز بخواهد مانند روش های تدریس سنتی در اداره کلاس خشک و خشن برخورد کند و امکان فعالیت و آزادی را از دانش آموزان بگیرد ، دانش آموزان در یادگیری درس ناتوان خواهند بود . شاید در ظاهر درس را فرا گیرند ولی این یادگیری عمقی نخواهد داشت و در آینده مشکل ساز خواهد شد .

با توجه به این عوامل برای موفقیت در امر یاد دهی -  یاد گیری  معلم باید کلاسی فعال و فرح بخش و متنوع برای دانش آموزان ایجاد کند که در این صورت دانش آموزان در کلاس احساس خستگی نخواهند کرد و با علاقه وانگیزه در فرایند یاددهی–یادگیری شرکت می کنند و ذهنیتی که نسبت به درس و معلم ریاضی دارند تا حدودی تعدیل می شود.                                                                                                                                       شاید بتوان گفت معلم ریاضی بیشتر از سایر معلمان باید به ویژگی های فردی دانش آموزان توجه داشته باشد ، فعالیت هایی متناسب با شرایط جسمی ، محیطی و علمی دانش آموزان طراحی کند ، در برخی از کلاس ها شاید نیاز باشد برای گروهی از دانش آموزان یک موضوع درسی و برای گروهی دیگر موضوع دیگری تدریس شود که بستگی به پایه ی علمی دانش آموزان دارد .

معلم قبل از شروع درس باید با دانش آموزان ارتباط عاطفی و دوستانه برقرار کند که به عنوان یک پیشنهاد می توان روی مهارت های ایجاد ارتباط عاطفی و دوستانه بین معلم و دانش آموز نیز تحقیق کاملی انجام داد که در این مقاله مجال پرداختن به آن نیست .

-2 چگونه یک کلاس فعال داشته باشیم ؟

روزگاری که معلم به عنوان گوینده و دانای کلاس و دانش آموز فقط به عنوان شنونده در کلاس حاضر می شد سپری شده است ، زمانی دانش آموز را به عنوان یک لیوان خالی در نظر می گرفتند که باید به وسیله ی معلم و کتاب های درسی پر شود ولی اکنون اشتباه بودن این تفکر به اثبات رسیده است . اکنون دانش آموز را باید آتشی افروخته بدانیم که معلم آن را شعله ورتر می کند . در ادامه روش ها و راه کارهایی برای فعال کردن کلاس ریاضی و بهبود جریان یاددهی – یادگیری ارایه می شود .

2-1 :  روش های نوین تدریس

آشنایی با روش های نوین تدریس و اجرای آن ها در کلاس درس لازمه ی کار معلم قرن 21 است . معلم باید به موضوعات هر درس و اهداف آن تسلط کامل داشته باشد . روش های فعال تدریس را به خوبی بشناسد و معایب و مزایای هر یک را بداند و با انتخاب یک یا چند روش فعال ، متناسب با موضوع درس و منطبق با اهداف آن در فعال کردن کلاس درس بکوشد .

2-2 : استفاده از وسایل کمک آموزشی

با بهره گیری از وسایل کمک آموزشی آماده یا   دست سازه های معلم و دانش آموزان می توان کلاس را فعال تر برگزار کرد . به عنوان مثال با تهیه ی اشکال هندسی مورد نیاز در بحث حجم دانش آموزان مفاهیم درس حجم را به صورت عینی تر و ملموس تر درک خواهند کرد .

2-3 : استفاده از تکنولوژی های آموزشی

تکنولوژی های آموزشی از قبیل کامپیوتر و ... می توانند علاقه ی دانش آموزان را به درس ریاضی افزایش دهند . در استفاده از کامپیوتر مسلما معلم باید با برخی از نرم افزار های آموزشی ریاضی آشنایی داشته باشد . به عنوان نمونه باری تهیه ی اسلاید و استفاده از آن در کلاس درس باید با پاورپوینت آشنا باشد . در اینجا لازم است اشاره ای شود به نرم افزار جئو جبرا شود این نرم افزار کاربرد وسیعی در آموزش ریاضی و خصوصا در هندسه دارد . نرم افزار جئو جبرا و آموزش آن در سایت جناب آقای افشین منش موجود می باشد . استفاده از کامپیوتر و نرم افزار های ریاضی علاوه بر آن که علاقه و انگیزه ی دانش آموزان را نسبت به ریاضی افزایش می دهد باعث تسریع و عمیق امر یاد دهی – یاد گیری می شود.

2-4 : استفاده از سرگرمی های ریاضی

متنوع کردن کلاس درس با طراحی معماها و سرگرمی ها و بازی های ریاضی مرتبط با موضوعات درسی می تواند در فعال کردن کلاس ریاضی نقش به سزایی داشته باشد . استفاده از معماها و سرگرمی های ریاضی می تواند صرفا برای درگیر کردن دانش آموزان با مسئله و تقویت قدرت تفکر در آن ها باشد و آن ها را با مراحل و روند تفکر و حل مسئله آشنا کند .

2-5 : تهیه ی بروشور ، روزنامه دیواری و پژوهش های دانش آموزی

فعالیت دانش آموزان در زمینه ی تهیه ی بروشور های ریاضی ، روزنامه دیواری ، مجلات ریاضی در سطح مدرسه و پژوهش در مورد موضوعات ریاضی و ... می تواند کلاس درسی را از حالت خشک و بی روح سنتی خارج کرده و دانش آموزان را با موضوعات درسی در گیر کند . برای تهیه ی موارد مذکور به دلیل وقت گیر بودن بهتر است قسمتی از کار در مدرسه و بقیه در خارج از مدرسه انجام شود .

2-6 : طراحی و برگزاری مسابقات ریاضی در خارج از کلاس

برگزاری مسابقات ریاضی هفتگی در مدرسه جهت درگیر کردن ذهن آن ها با ریاضی و فرایند حل مسئله و تقویت تفکر در آن ها کاری بسیار مفید می باشد . این کار می تواند به صورت مطرح کردن یک یا چند سوال ( معما ) و نصب آن در تابلو اعلانات مدرسه یا در صورت وجود در برد ریاضی مدرسه و تعیین جایزه به تفکیک پایه باشد .

2-7 : معرفی دانش آموزان موفق در پایان هر ماه

معرفی دانش آموزان موفق و دانش آموزانی که در حال پیشرفت هستند به صورت ماهیانه باعٍث ایجاد رقابت در بین آن ها می شود . در این مورد می توان از بسته های تشویقی خاصی متناسب با علائق دانش آموزان برای دانش آموزانی که معرفی می شوند در نظر گرفت ، مثلا برگزاری اردوهای تفریحی ، ورزشی و ... در سطح منطقه و یا این که بر گزاری مسابقات ورزشی بین معرفی شدگان و ...

2-8 : استفاده از کارت های تشویقی

برای از بین بردن اضطراب نمره در بین دانش آموزان می توان از کارت های تشویقی استفاده کرد که باعث رقابت بین آن ها نیز می شود . در این مورد به دانش آموزان ضعیفی که در حال پیشرفت هستند باید بیشتر بها داده شود . به عنوان مثال می توان دو نوع کارت عالی و ممتاز تهیه کرد . که به ازای هر 5 کارت عالی که دانش آموز از معلم کسب می کند یک کارت ممتاز از مدیر دریافت می کند و به ازای هر 5 کارت ممتاز جایزه ای متناسب با علائق او به وی اهدا می شود .

دهه فجر مبارک

نسبت طلایی (عدد فی)

نسبت طلایی

دنیای اعداد بسیار زیباست و شما می توانید در آن شگفتیهای بسیاری را بیابید. در میان اعداد برخی از آنها اهمیت فوق العاده ای دارند، یکی از این اعداد که سابقه آشنایی بشر با آن به هزاران سال پیش از میلاد میرسد عددی است بنام “نسبت طلایی” یا Golden Ratio.

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی a2=a*b b2 را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا” ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۹ یا ۱٫۶۱۸ خواهیم رسید. شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد.

اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از ۲۵۰۰ سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا” ۱٫۶۱۸۰۴ می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi2=phi b2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا” عدد طلایی را با phi نمایش می دهند) طول وتر برای هرم واقعی حدود ۳۵۶ متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا” معادل ۴۴۰ متر می باشد بنابر این نسبت ۳۵۶ بر ۲۲۰ (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد ۱٫۶۱۸ خواهد شد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : “هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد”.

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد. کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

مارپیچ فیبوناچی

به شکل زیر نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.

 

سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزک و علوم طبیعی کاربردهای بسیار دیگری دارد، ارتباط زیبای فاصله های خوش صدا در موسیقی، چگونگی تولد یک کهکشان و … که کاربرد این سری جادویی را بیش از پیش نشان می دهد.

نسبت طلایی در طبیعت

به اشکال شبیه چشم روی بدن پروانه که علامت گذاری شده است،توجه کنید.نسبت فواصل طولی و عرضی این علائم یک نسبت طلائی است.

پوسته مارپیچی یک حلزون نمونه ای ساده ودرعین حال زیبا، از نسبت طلائی است.

نسبت طلایی در ساقه گیاهان

مارپیچ طلایی

یکی از ابزارهای ترکیب بندی عکس برای هدایت چشم بیننده به نقطه مورد نظر عکاس، مارپیچ طلایی است. استفاده از این تکنیک در سوژه هایی که با نقاط طلایی سازگار نبوده اند قابل استفاده است.

نسبت طلایی در بدن انسان

دانشمندان گذشته نیز از نسبت طلایی استفاده های زیادی کرده اند. به عنوان مثال لئوناردو داوینچی در ترسیم نقاشی معروف خود از بدن انسان از نسبت طلایی بهره گرفته است.

در بدن انسان مثالهای بسیار فراوانی از این نسبت طلایی وجود دارد. در شکل زیر نسبت M/m یک نسبت طلایی است که در جای جای بدن انسان می توان آنرا دید. به عنوان مثال نقاطی از بدن که دارای نسبت طلایی هستند:

نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا

نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج

نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر

نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر

نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا

اینها تنها چند مثال از وجود نسبت طلایی در بدن انسان بود که بدن انسان را در حد کمال زیبایی خود نشان می دهد.

---

نسبت طلایی در ایران

نسبت طلایی در ایران

برج و میدان آزادی:طول بنا ۶۳ و عرض ان ۴۲ است که ۵/۱=۴۲: ۶۳ و به عدد طلایی نزدیک می‌باشدسبک معماری آن نیزطاق بزرگی است که تلفیقی از سبک هخامنشی و ساسانی و اسلامی است که منحنی آن با الهام از طاق کسری معماری ایران باستان را تداعی می‌نماید.

قلعه دالاهو، کرمانشاه:خطی از استحکامات به طول دو و نیم کیلومتر و عرض چهار متر با قلوه و لاشه سنگ به همراه ملات دیوار گچ را می‌سازد. سرتاسر نمای خارجی این دیوار با مجموعه‌ای از برج‌های نیم دایره‌ای شکل تقویت شده است. می دانیم۶/۱=۵/۲: ۴ که همان عدد طلایی است.

بیستون از دوره هخامنشی، کرمانشاه:به طول ۵ کیلومتر و عرض ۳ کیلومتراست. اعداد۵و۳هردوجزودنباله فیبوناتچی هستندو۶/۱=۵:۳ و ابعاد برجسته کاری ۱۸ در ۱۰ پاست که قامت "داریوش"۵ پا و ۸ اینچ (۱۷۰ سانتیمتر) بلندی داردکه هر دو اعداد فیبوناتچی هستند.

یکی از هنرهای معماری در تخت جمشید این است که نسبت ارتفاع سر درها به عرض آنها و همین طور نسبت ارتفاع ستون‌ها به فاصلهٔ بین دو ستون نسبت طلایی است. نسبت طلایی نسبت مهمی در هندسه است که در طبیعت وجود دارد. این نشانگر هنر ابرانیان باستان در معماری است.

پل ورسک در مازندران: این پل بر روی رودخانه ورسک در مجاورت سواد کوه بنا شد. بلندی این پل ۱۱۰ متر است وطول قوس آن ۶۶ متر می‌باشد(۶/۱ = ۶۶: ۱۱۰).

مقبره ابن سینا:آرامگاه دروسط تالاری مربع شکل قرارگرفته که پله مدور (مارپیچ فیبوناتچی) و پایه‌های دوازده گانه برج را احاطه کرده‌اند. سطح حیاط باسه پله سراسری به ایوان متصل است. ایوان با دری به ارتفاع ۲/۳ متر و عرض ۹/۱ متر به سرسرای آرامگاه متصل است (۶/۱=۹/۱: ۲/۳)در دو طرف سرسرا دو تالار قرار دارد یکی در جنوب که تالار سخنرانی و اجتماعات است. و یکی در شمال که کتابخانه آرامگاه است. طول تالار کتابخانه ۴۵/۹ متر وعرض آن ۷۵/۵ متر است(۶/۱=۷۵/۵: ۴۵/۹)

ارگ بم:این بنا ۳۰۰ متر طول و ۲۰۰ متر عرض داشته و از ۲ قسمت تشکیل شده است. این دﮋ ۵ شیوه ساختاری از خشت خام دارد. (۳ و ۲ و ۵ اعداد دنباله فیبوناتچی هستند)

میدان نقش جهان و مسجد لطف الله:در کتب اخیر، نویسنده جیسون الیوت بر این باور است که نسبت طلایی توسط طراحان میدان نقش جهان و در مجاورت مسجد لطف الله مورد استفاده قرار گرفته است.^[۳]